Ավետ Սարդարյան

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a₁x+b₁y+c₁=0

{a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ՝

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0,

{2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:  

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	5	0
y	0	2,5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է: 

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	−1,5	2,5
y	0	−2

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:   

Օրինակ՝

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,

{2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	3
y	−5	1

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

x	0	1
y	7	5

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:

3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:

Առաջադրանքներ․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․

1)

x=0
y=-4
x=1
y=-2
x=-3
y=5
x=1
y=1
Հատման կետ՝ 2;0

2)

x=-2
y=4
x=1
y=1
x=-3
y=6
x=1
y=2
Հատման կետ չկա՝

3)

x=2
y=2
x=3
y=1
x=4
y=2
x=5
y=3
Հատման կետ՝ 3;1

4)

x=5
y=6
x=3
y=4
x=3
y=2
x=5
y=4
Հատման կետ չկա՝

5)

x=-1
y=4
x=-2
y=7
x=-1.5
y=5,5
x=-2.5
y=8.5
Հատման կետ՝ 1.5;5.5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․

1)

x=3
y=2
x=2
y=3
x=5
y=4
x=6
y=5
Հատման կետ՝ 3;2

2)

x=4
y=1
x=6
y=3
x=1
y=-2
x=0.5
y=1.5
Հատման կետ՝ 1;-2

3)

x=-2
y=2
x=-1
y=4
x=1
y=4
x=2
y=7
Հատման կետ՝ ?

4)

x=2
y=-1
x=1
y=-4
x=1
y=-4
x=0.5
y=1
Հատման կետ՝ 1;-4